Bab 1

Analisis Vektor

Kalkulus vektor tiga dimensi — operator diferensial nabla, teorema integral fundamental, dan sistem koordinat kurvilinier yang menjadi bahasa utama elektrodinamika klasik.

1.1 Vektor dalam Tiga Dimensi

Definisi 1.1 — Vektor

Vektor $\mathbf{A}$ dalam ruang tiga dimensi adalah besaran yang memiliki besaran (panjang) dan arah, direpresentasikan sebagai tripel terurut komponen terhadap basis ortonormal $\{\hat{\mathbf{x}},\,\hat{\mathbf{y}},\,\hat{\mathbf{z}}\}$:

$$ \mathbf{A} = A_x\,\hat{\mathbf{x}} + A_y\,\hat{\mathbf{y}} + A_z\,\hat{\mathbf{z}} $$

Besar (norma) vektor didefinisikan melalui teorema Pythagoras generalisasi:

$$ |\mathbf{A}| = A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} $$

Vektor satuan searah $\mathbf{A}$ diperoleh dengan membagi vektor oleh besarnya:

$$ \hat{\mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} \notag \qquad\text{sehingga}\qquad |\hat{\mathbf{A}}| = 1 $$
z y x A A_z A_y A_x
Gambar 1.1 — Dekomposisi vektor $\mathbf{A}$ ke dalam komponen $A_x$, $A_y$, $A_z$ pada basis kartesius. Garis putus-putus menunjukkan proyeksi paralel terhadap sumbu.
Contoh 1.1

Diberikan $\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}$. Hitung besar vektor dan vektor satuan $\hat{\mathbf{A}}$.

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \notag$

Vektor satuan: $\hat{\mathbf{A}} = \dfrac{2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{14}} \notag$

1.2 Perkalian Titik dan Perkalian Silang

1.2.1 Produk Titik (Dot Product)

Definisi 1.2 — Produk Titik

Produk titik (hasil kali dalam) dua vektor didefinisikan secara aljabar sebagai:

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$

Secara geometris, produk titik memberikan proyeksi skalar $\mathbf{A}$ pada $\mathbf{B}$ dikalikan besar $\mathbf{B}$:

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\,\cos\theta $$

di mana $\theta$ adalah sudut terkecil antara kedua vektor ($0 \leq \theta \leq \pi$).

Komponen $\mathbf{A}$ searah $\mathbf{B}$ (proyeksi skalar) dan vektor proyeksi diberikan oleh:

$$ \text{comp}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|} = |\mathbf{A}|\cos\theta \notag \qquad\qquad \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|^2}\,\mathbf{B} $$
B A θ |A|cos θ
Gambar 1.2 — Interpretasi geometris produk titik: proyeksi skalar $\mathbf{A}$ pada $\mathbf{B}$ bernilai $|\mathbf{A}|\cos\theta$. Jika $\theta = 90°$, proyeksi nol — kedua vektor ortogonal.

Sifat-sifat penting produk titik: komutatif ($\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$), distributif terhadap penjumlahan, dan $\mathbf{A}\cdot\mathbf{A} = |\mathbf{A}|^2$. Dua vektor ortogonal jika dan hanya jika $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 0$.

1.2.2 Produk Silang (Cross Product)

Definisi 1.3 — Produk Silang

Produk silang $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$, dengan arah ditentukan oleh aturan tangan kanan:

$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} $$

Besarnya sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor:

$$ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\,\sin\theta $$
Perhatian

Produk silang tidak komutatif: $\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\mathbf{B}\times\mathbf{A}$. Arah hasil silang mengikuti aturan tangan kanan — putar dari $\mathbf{A}$ ke $\mathbf{B}$ melalui sudut terkecil $\theta$, maka ibu jari menunjuk arah $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$.

1.2.3 Produk Tripel

Produk tripel skalar (triple product) menghasilkan skalar yang besarnya sama dengan volume parallelepiped:

$$ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} $$

Produk tripel vektor memenuhi identitas BAC-CAB yang sangat berguna dalam derivasi elektrodinamika:

$$ \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) $$
Contoh 1.2

Diberikan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$. Hitung $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$, sudut $\theta$, dan $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$.

Produk titik: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = (1)(3) + (0)(-1) + (2)(1) = 5 \notag$

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{5}$, $|\mathbf{B}| = \sqrt{11}$, sehingga $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{55}} \approx 0.674 \notag$

Produk silang: $\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix} = (0\cdot1 - 2\cdot(-1))\hat{\mathbf{x}} - (1\cdot1 - 2\cdot3)\hat{\mathbf{y}} + (1\cdot(-1) - 0\cdot3)\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} + 5\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}} \notag$

1.3 Operator Diferensial: Gradient

Operator diferensial $\nabla$ (dibaca nabla) adalah vektor operator yang menjadi tulang punggung seluruh elektrodinamika:

$$ \nabla = \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z} $$
Definisi 1.4 — Gradient

Gradient dari fungsi skalar $T(x,y,z)$ adalah vektor yang komponennya adalah turunan parsial $T$ terhadap masing-masing koordinat:

$$ \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\,\hat{\mathbf{x}} + \frac{\partial T}{\partial y}\,\hat{\mathbf{y}} + \frac{\partial T}{\partial z}\,\hat{\mathbf{z}} $$
Teorema 1.1 — Sifat Fundamental Gradient

Gradient $\nabla T$ menunjuk ke arah kenaikan paling curam dari $T$, dan besarnya $|\nabla T|$ adalah laju kenaikan maksimum tersebut.

Turunan arah dari $T$ searah vektor satuan $\hat{\mathbf{u}}$ diberikan oleh:

$$ \frac{dT}{ds}\bigg|_{\hat{\mathbf{u}}} = \nabla T \cdot \hat{\mathbf{u}} = |\nabla T|\,\cos\alpha $$

di mana $\alpha$ adalah sudut antara $\nabla T$ dan $\hat{\mathbf{u}}$. Turunan arah maksimum terjadi ketika $\hat{\mathbf{u}}$ searah $\nabla T$ ($\alpha = 0$), dan nol ketika $\hat{\mathbf{u}}$ tegak lurus terhadap $\nabla T$ — yaitu, sepanjang garis kontur $T = \text{konstan}$.

T=3 T=2 T=1 ∇T tegak lurus kontur, menunjuk ke T lebih besar
Gambar 1.3 — Gradient $\nabla T$ selalu tegak lurus terhadap garis kontur $T = \text{konstan}$ dan menunjuk ke arah kenaikan $T$ paling curam. Panah dianimasikan untuk menekankan sifat vektor medan gradient.

1.4 Divergensi dan Curl

Dua operasi turunan orde pertama yang paling penting dalam elektrodinamika diperoleh dengan menerapkan $\nabla$ pada vektor melalui produk titik dan produk silang.

Definisi 1.5 — Divergensi

Divergensi dari medan vektor $\mathbf{F}$ adalah skalar yang mengukur keluaran bersih (net outflow) per satuan volume di suatu titik:

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$

Secara intuitif, $\nabla \cdot \mathbf{F} > 0$ di titik sumber (source), $\nabla \cdot \mathbf{F} < 0$ di titik cekungan (sink), dan $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$ jika medan tidak memiliki sumber lokal (solenoidal).

Definisi 1.6 — Curl (Rotasi)

Curl dari medan vektor $\mathbf{F}$ adalah vektor yang mengukur kecenderungan rotasi medan di sekitar suatu titik:

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$

Secara eksplisit, komponen-komponen curl adalah:

$$ (\nabla \times \mathbf{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \quad (\nabla \times \mathbf{F})_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \quad (\nabla \times \mathbf{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \notag $$
Analogi Fisik

Bayangkan $\mathbf{F}$ sebagai medan kecepatan fluida. Divergensi mengukur apakah fluida "mengembang" atau "mengempis" secara lokal — seperti memasukkan pompa (sumber) atau drain (cekungan). Curl mengukur apakah fluida "berputar" di sekitar titik tersebut — seperti meletakkan bilah kipas kecil dan mengamati apakah ia berputar.

Identitas Orde Kedua

Dengan menerapkan $\nabla$ dua kali, diperoleh dua identitas fundamental yang merupakan konsekuensi langsung dari kesetaraan turunan parsial campuran ($\partial^2 f/\partial x\partial y = \partial^2 f/\partial y\partial x$):

$$ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 \qquad\text{(divergensi curl selalu nol)} $$
$$ \nabla \times (\nabla T) = \mathbf{0} \qquad\text{(curl gradient selalu nol)} $$

Identitas pertama menyatakan bahwa medan curl selalu solenoidal. Identitas kedua menyatakan bahwa gradient selalu irasional. Kedua identitas ini menjadi dasar pengenalan potensial listrik dan potensial vektor magnetik.

Operator Laplacian didefinisikan sebagai divergensi dari gradient:

$$ \nabla^2 T = \nabla \cdot (\nabla T) = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} $$
Contoh 1.3

Hitung divergensi dan curl dari $\mathbf{F} = x^2 y\,\hat{\mathbf{x}} + y^2 z\,\hat{\mathbf{y}} + z^2 x\,\hat{\mathbf{z}}$.

Divergensi: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2xy + 2yz + 2zx \notag$

Curl: $\nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial(z^2 x)}{\partial y} - \frac{\partial(y^2 z)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{x}} - \left(\frac{\partial(z^2 x)}{\partial x} - \frac{\partial(x^2 y)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{y}} + \left(\frac{\partial(y^2 z)}{\partial x} - \frac{\partial(x^2 y)}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{z}} \notag$

$= (0 - y^2)\hat{\mathbf{x}} - (z^2 - 0)\hat{\mathbf{y}} + (0 - x^2)\hat{\mathbf{z}} = -y^2\,\hat{\mathbf{x}} - z^2\,\hat{\mathbf{y}} - x^2\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

1.5 Teorema Integral: Gauss, Stokes, dan Green

Tiga teorema integral fundamental menghubungkan operasi diferensial lokal (divergensi, curl) dengan integral global atas permukaan dan kurva tertutup.

1.5.1 Teorema Divergensi (Gauss)

Teorema 1.2 — Teorema Divergensi Gauss

Integral fluks vektor $\mathbf{F}$ menembus permukaan tertutup $\mathcal{S}$ sama dengan integral volume divergensi $\mathbf{F}$ di dalam volume $\mathcal{V}$ yang dibatasi $\mathcal{S}$:

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a} = \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{F})\, d\tau $$

di mana $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{n}}\,da$ dengan $\hat{\mathbf{n}}$ adalah vektor normal satuan mengarah ke luar permukaan tertutup.

n̂ V S Fluks keluar melalui permukaan tertutup S
Gambar 1.4 — Teorema Gauss: fluks total $\mathbf{F}$ yang keluar melalui permukaan tertutup $\mathcal{S}$ sama dengan integral volume $\nabla\cdot\mathbf{F}$ di dalamnya.

1.5.2 Teorema Stokes

Teorema 1.3 — Teorema Stokes

Integral garis $\mathbf{F}$ sepanjang kurva tertutup $\mathcal{C}$ sama dengan integral curl $\mathbf{F}$ melalui setiap permukaan terbuka $\mathcal{S}$ yang dibatasi oleh $\mathcal{C}$:

$$ \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{a} $$

Arah integrasi pada $\mathcal{C}$ dan arah normal $\hat{\mathbf{n}}$ pada $\mathcal{S}$ memenuhi aturan tangan kanan: jika jari-jari tangan kanan mengikuti arah integrasi pada $\mathcal{C}$, ibu jari menunjuk arah $\hat{\mathbf{n}}$.

1.5.3 Teorema Green (Bidang)

Kasus Khusus 2D

Teorema Green adalah bentuk khusus teorema Stokes di bidang $xy$. Untuk medan $\mathbf{F} = F_x\hat{\mathbf{x}} + F_y\hat{\mathbf{y}}$ dan daerah $\mathcal{R}$ dengan batas $\mathcal{C}$:

$$ \oint_{\mathcal{C}} (F_x\,dx + F_y\,dy) = \int_{\mathcal{R}} \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) dx\,dy $$

Perhatikan bahwa integran di ruas kanan adalah tepat komponen-$z$ dari $\nabla\times\mathbf{F}$, konsisten dengan interpretasi teorema Green sebagai kasus 2D dari Stokes.

1.6 Sistem Koordinat Kurvilinier

Dalam elektrodinamika, banyak masalah memiliki simetri yang lebih alami diekspresikan dalam koordinat silinder atau bola daripada koordinat Kartesius. Sistem koordinat kurvilinier umum $(u_1, u_2, u_3)$ didefinisikan oleh fungsi transformasi $\mathbf{r}(u_1, u_2, u_3)$.

1.6.1 Koordinat Silinder

Koordinat Transformasi Faktor Skala
$s$ (sumbu) $x = s,\; y = 0,\; z = z$ $h_s = 1$
$\phi$ (azimuth) $x = s\cos\phi,\; y = s\sin\phi$ $h_\phi = s$
$z$ (vertikal) $z = z$ $h_z = 1$
Konvensi Notasi

Dalam buku ini, koordinat silinder ditulis $(s, \phi, z)$ — bukan $(r, \phi, z)$ — untuk menghindari kebingungan dengan koordinat radial bola $r$. Simbol $r$ selalu dicadangkan untuk jarak dari titik asal dalam koordinat bola.

1.6.2 Koordinat Bola

z x P r s = r sin θ r cos θ θ φ O
Gambar 1.5 — Koordinat bola $(r, \theta, \phi)$: $r$ adalah jarak dari asal, $\theta$ adalah sudut polar dari sumbu $+z$ ($0 \leq \theta \leq \pi$), dan $\phi$ adalah sudut azimuth dari sumbu $+x$ ($0 \leq \phi < 2\pi$).
Koordinat Transformasi Faktor Skala
$r$ (radial) $x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta$ $h_r = 1$
$\theta$ (polar) $h_\theta = r$
$\phi$ (azimuth) $h_\phi = r\sin\theta$

1.6.3 Grad, Div, dan Curl dalam Koordinat Kurvilinier

Dalam koordinat kurvilinier umum dengan faktor skala $h_1, h_2, h_3$, operator diferensial mengambil bentuk:

Operator Diferensial dalam Koordinat Kurvilinier

Gradient:

$$ \nabla T = \hat{\mathbf{u}}_1\,\frac{1}{h_1}\frac{\partial T}{\partial u_1} + \hat{\mathbf{u}}_2\,\frac{1}{h_2}\frac{\partial T}{\partial u_2} + \hat{\mathbf{u}}_3\,\frac{1}{h_3}\frac{\partial T}{\partial u_3} $$

Divergensi:

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}(h_2 h_3 F_1) + \frac{\partial}{\partial u_2}(h_1 h_3 F_2) + \frac{\partial}{\partial u_3}(h_1 h_2 F_3) \right] $$

Curl:

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\begin{vmatrix} h_1\hat{\mathbf{u}}_1 & h_2\hat{\mathbf{u}}_2 & h_3\hat{\mathbf{u}}_3 \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial u_1} & \dfrac{\partial}{\partial u_2} & \dfrac{\partial}{\partial u_3} \\[6pt] h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3 \end{vmatrix} $$

Laplacian:

$$ \nabla^2 T = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\!\left(\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\partial T}{\partial u_1}\right) + \frac{\partial}{\partial u_2}\!\left(\frac{h_1 h_3}{h_2}\frac{\partial T}{\partial u_2}\right) + \frac{\partial}{\partial u_3}\!\left(\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\partial T}{\partial u_3}\right) \right] $$

Dengan mensubstitusikan faktor skala yang sesuai, diperoleh bentuk eksplisit di masing-masing sistem. Sebagai contoh, Laplacian dalam koordinat bola:

$$ \nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 T}{\partial \phi^2} $$
Kapan Menggunakan Koordinat Apa?

Kartesius $(x,y,z)$: masalah tanpa simetri tertentu, atau bidang-bidang datar.
Silinder $(s,\phi,z)$: masalah dengan simetri aksial — kawat tak hingga, silinder, solenoid.
Bola $(r,\theta,\phi)$: masalah dengan simetri bola — muatan titik, kulit bola, distribusi radial.

Pilihan koordinat yang tepat sering kali menyederhanakan masalah secara drastis — persamaan yang tampak tidak terpecahkan dalam Kartesius dapat menjadi persamaan ODE biasa dalam koordinat yang sesuai.

Latihan Evaluasi Bab 1
  1. Diberikan $\mathbf{A} = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}$. Hitung: (a) $\mathbf{A}+\mathbf{B}$, (b) $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$, (c) $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$, (d) sudut antara keduanya, (e) $\text{proj}_{\mathbf{B}}\mathbf{A}$.
  2. Buktikan identitas BAC-CAB: $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$ dengan mengekspansi komponen-komponennya dalam basis Kartesius.
  3. Tentukan $\nabla T$ dan $\nabla^2 T$ untuk $T = x^2 y + y^2 z + z^2 x$. Hitung $\nabla T$ di titik $(1, 2, 3)$ dan tunjukkan arah kenaikan paling curam.
  4. Untuk $\mathbf{F} = xy\,\hat{\mathbf{x}} + yz\,\hat{\mathbf{y}} + zx\,\hat{\mathbf{z}}$, hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ dan $\nabla\times\mathbf{F}$. Verifikasi bahwa $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$.
  5. Sebuah medan radial didefinisikan sebagai $\mathbf{F} = f(r)\,\hat{\mathbf{r}}$ dengan $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Tunjukkan bahwa $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ untuk setiap $f(r)$, dan hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ dalam koordinat bola.
  6. Hitung $\nabla^2(1/r)$ untuk $r \neq 0$. (Petunjuk: gunakan koordinat bola dan ingat bahwa hasilnya terkait dengan fungsi delta Dirac.)
  7. Sebuah titik $P$ memiliki koordinat Kartesius $(1, 1, \sqrt{2})$. Tentukan koordinat bola $(r, \theta, \phi)$ dan koordinat silinder $(s, \phi, z)$-nya.
  8. Turunkan ekspresi divergensi dalam koordinat silinder $(s, \phi, z)$ dari rumus umum kurvilinier. Verifikasi hasilnya dengan menghitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ untuk $\mathbf{F} = s\,\hat{\mathbf{s}}$ langsung menggunakan definisi limit divergensi.